Calc-04 — Integration essentials

Why this matters for ML

La integración importa sobre todo por probabilidad: la probabilidad de un intervalo es el área bajo la densidad (integral de la PDF), y la expectation (media) de una variable continua es una integral. También aparece en normalizar distribuciones (que integren a 1). No necesitas ser un virtuoso integrando; necesitas entender qué significa una integral.

Concepts covered

• Antiderivada (integral indefinida)
• Integral definida como área/acumulación
• Fundamental Theorem of Calculus (conecta derivada e integral)
• Reglas básicas y sustitución (idea)
• Uso en probabilidad: densidades y expectation

Intuition first

🎬 3Blue1Brown Essence of Calculus cap. 8 ("Integration and the fundamental theorem") y cap. 9–10. Idea: integrar es sumar infinitas rebanaditas → área acumulada; es la operación inversa de derivar.

Theory & key results

Antiderivada: $F$ es antiderivada de $f$ si $F'=f$. La integral indefinida $\int f(x),dx = F(x)+C$.

Integral definida: $\int_a^b f(x),dx$ = área con signo bajo $f$ entre $a$ y $b$. Se define como límite de sumas de Riemann (rebanadas $f(x)\Delta x$).

Fundamental Theorem of Calculus (FTC): conecta ambos mundos: $$\int_a^b f(x),dx = F(b)-F(a),\quad\text{donde } F'=f.$$ Derivar e integrar son operaciones inversas.

Reglas básicas:

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\neq-1$)
• $\int e^x dx = e^x + C$, $\int \frac1x dx = \ln|x| + C$
• Linealidad: $\int (af+bg) = a\int f + b\int g$.
• Sustitución (u-substitution): el "chain rule al revés".

Conexión con probabilidad (lo que de verdad usarás):

• Una densidad (PDF) $p(x)$ cumple $\int_{-\infty}^{\infty}p(x),dx = 1$ (toda la probabilidad suma 1).
• $P(a\le X\le b) = \int_a^b p(x),dx$ (área bajo la curva).
• Expectation: $\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x,p(x),dx$; y $\mathbb{E}[g(X)]=\int g(x)p(x)dx$.

En la práctica de ML muchas de estas integrales o se conocen en forma cerrada (gaussiana) o se estiman por muestreo/Monte Carlo — pero la idea de "integral = valor esperado / área de probabilidad" es imprescindible.

Worked example

$\int_0^2 (3x^2),dx$. Antiderivada: $x^3$. FTC: $2^3 - 0^3 = 8$.

Verificación de densidad: la uniforme en $[0,2]$ es $p(x)=1/2$. $\int_0^2 \frac12 dx = \frac12\cdot2 = 1$. ✓ Su media: $\int_0^2 x\cdot\frac12 dx = \frac12\cdot\frac{x^2}{2}\big|_0^2 = \frac12\cdot2 = 1$, el centro del intervalo, como esperabas.

Notebook exercises (by hand)

1. $\int (4x^3 - 2x + 1),dx$.
2. $\int_1^e \frac1x,dx$ (resultado limpio).
3. $\int_0^1 e^{2x},dx$ (sustitución $u=2x$).
4. Verifica que $p(x)=2x$ en $[0,1]$ es una densidad válida ($\int_0^1 p = 1$).
5. Calcula la expectation de esa densidad: $\int_0^1 x\cdot 2x,dx$.
6. Explica en palabras por qué $\mathbb{E}[X]=\int x,p(x),dx$ es "el promedio ponderado por probabilidad".

Python lab

import numpy as np, sympy as sp

x = sp.symbols("x")
print(sp.integrate(3*x**2, (x, 0, 2)))            # 8
print(sp.integrate(1/x, (x, 1, sp.E)))            # 1
print(sp.integrate(2*x, (x, 0, 1)))               # 1 (densidad válida)
print(sp.integrate(x*2*x, (x, 0, 1)))             # 2/3 (expectation)

# integral numérica (Monte Carlo) de ∫_0^1 2x dx = 1
n = 1_000_000
u = np.random.rand(n)
print("MC estimate:", (2*u).mean())               # ~1.0

Examen final 📝

Intenta cada nivel antes de abrir las soluciones.

🟡 Medio

1. $\int_0^3 (2x+1),dx$.
2. $\int_1^2 \frac{1}{x},dx$.

🟠 Medio-difícil

3. Verifica que $f(x)=\frac{3}{2}x^2$ en $[0,c]$ es densidad; halla el $c$ que la normaliza a integrar 1.
4. Para la densidad exponencial $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ($x\ge0$), muestra que $\int_0^\infty f(x),dx=1$ y calcula $\mathbb{E}[X]=\int_0^\infty x,f(x),dx$ (integración por partes).

🔴 Difícil

5. Demuestra que para la gaussiana estándar, $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},dx=1$ (usa el truco del cuadrado y coordenadas polares, o al menos esboza el argumento).
6. La constante de normalización de una distribución (el "partition function" $Z$) es una integral. Explica por qué en ML a veces $Z$ es intratable y cómo se conecta esto con la idea de estimar integrales por Monte Carlo (Prob-08).